PAPER
MATEMATIKA DISKRIT
“Penerapan
Diagram Venn dan Logika Boolean dalam Peta Karnaugh Untuk Penyederhanaan Sistem
Digital Komputer”
Oleh:
Nama : Riza Hidayat
NIM : J1F113013
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN
KEBUDAYAAN
UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM STUDI S1 ILMU
KOMPUTER
|
|
Penerapan
Diagram Venn dan Logika Boolean dalam Peta Karnaugh untuk Penyederhanaan Sistem
Digital Komputer
Riza Hidayat
Program
Studi Ilmu Komputer, Fakultas Matematika dan Ilmu Penetahuna Alam
Universitas
Lambung Mangkurat , Banjarbaru
Abstrak: Metode pemetaan yang dikenalkan
oleh Karnaugh, disebut Peta Karnaugh (Karnaugh
Map). Metode Peta Karnaugh merupakan metode grafis untuk menyederhanakan
fungsi boolean. Metode pemetaan dapat meminimalisasi fungsi yang kompleks.
Metode Peta Karnaugh merupakan metode grafis untuk menyederhanakan fungsi
boolean. Rangkaian logika yang kompleks merupakan merupakan implementasi dari
fungsi Boolean yang memberikan ekspresi yang kompleks pula. Peta Karnaugh
digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Peta Karnaugh adalah sebuah
diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujur sangkar) yang
bersisian. Setiap kotak merepresentasikan minterm. Jumlah kotak dan minterm
tergantung pada berapa jumlah variabel dari fungsi Boolean. N variabel dalam
fungsi Boolean diimplementasikan dengan 2N
kotak. Dasar dari peta
Karnaugh adalah diagram Venn yang asalnya digunakan untuk visualisasi konsep
himpunan. Diagram Venn untuk variabel biner berisi persegi panjang yang
menunjukkan bentuk SOP biner.
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Kemampuan
untuk menyederhanan rangkaian merupakan suatu pengetahuan yang sangat membantu
kepada orang-orang yang berkecimpung dalam bidang elektronika, terutama pada
sub bidang Elektronika digital dan perangkat keras komputer. Kemampuan ini akan
memungkinkan sipengguna untuk mendapatkan suatu persamaan rangkaian digital
yang lebih sederhana dari persamaan rangkaian asal/aslinya. Komputer digital
modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik
dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar
Boolean. Pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan
dalam bidang computer. Alam matematika dan ilmu komputer, aljabar booelan
adalah aljabar yang"mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR
dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen (Andreas,
2013).
Persamaan
rangkaian digital yang telah disederhanaankan ini akan bersifat sama dengan
persamaan rangkaian digital asal/aslinya dan akan memberikan keluaran logika
yang sama dengan keluaran logika persamaan asal/aslinya jika diberikan masukan
logika yang sama. Kelebihan persamaan rangkaian digital yang telah
disederhanakan ini adalah, rangkaian ini akan memiliki gerbang-gerbang logika
yang lebih sedikit jumlahnya dibandingkan dengan persamaan rangkian digital
asal/aslinya (Rofsanjani, 2013).
Ada berbagai
metode untuk menyederhanakan suatu persamaan digital antara lain dengan
mengganakan Aljabar Boolean dan peta
Karnaugh. Selanjutnya persamaan
rangkaian digital yang telah disederhanakan ini akan digunakan untuk merancang
rangkaian elektronika digital. Rangkaian elektronika digital yang didapat
diharapkan akan lebih cepat, murah (karena jumlah gerbang logika yang digunakan
lebih sedikit dibandingkan rangkaian asal). Selain lebih cepat rangkaian ini
juga akan lebih hemat dengan daya listrik yang dikonsumsinya
(Rofsanjani, 2013).
1.2 Rumusan Masalah
Dalam perumusan masalah ini , masalah masalah yang
dibahas adalah :
1. Bagaimana
pengertian dari aljabar Boolean,diagram venn dan peta karnaugh ?
2. Bagaimana
penerapan diagram venn dan aljabar Boolean dalam komputer ?
1.3 Tujuan Penulisan
Tujuan
dalam menulis makalah ini yaitu sebagai berikut:
1. Mengetahui
pengertian aljabar Boolean (Logika), Diagram venn dan peta karnaugh.
2. Mengetahui
penerapan diagram venn dan aljabar Boolean dalam komputer.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang
menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara
sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika,
diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn
untuk menunjukkan hubungan sederhanadalam topik-topik di bidang logika,
probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer (Andreas, 2013).
Dikenal banyal aljabar seprti aljabar biasa, aljabar himpunan,
aljabar vector, aljabar group, aljabar boole dan lain-lain. Dalam setiap
aljabar memiliki postulat sendiri sendiri. Aljabar boole diciptakan pada abad
19 oleh George Boole sebagai suatu system untuk menganalisis mengenai logika.
Aljabar Boole didasarkan pada pernyataan logika benar atau salah. Ternyata,
aljabar boole ini menjadi alat yang digunakan untuk merancang maupun
menganalisis rangkaian digital. Selanjutnya, dalam aljabar boole baik konstanta
maupun nilai dari suatu variabelnya hanya memiliki dua kemungkinan nilai(biner)
yaitu 1 atau 0.Variabel aljabar boole sering digunakan untuk menyajikan suatu
tingkat tegangan pada terminal suatu rangkaian. Terminal itu dapat berupa kawat
atau saluran masukan. Misalnya 0 sering digunakan untuk menandai suatu
jangkauan tegangan dari 0 volt samapi 0,8 volt. Sedangkan 1 sering digunakan
untuk jangkauan 2 volt sampai 5 volt. Dengan demikian tanda 0 atau 1 tidak
menggambarkan bilangan yang sebenarnya tetapi menyatakan keadaan suatu variable
suatu tegangan. Aljabar boole digunakan untuk menyatakan pengaruh berbagai
rangkaian digital pada masukan masukan logika, dan untuk memanipulasi variabel
logika dalam menentukan cara terbaik pada pelaksaan fungsi rangkaian tertentu.
Oleh karena hanya ada dua niai yang mungkin, aljabar boole lebih cocok
digunakan untuk rangkaian digital dibandingkan dengan aljabar yang lain.
Kenyataanya alajabar boole hanya mengenal tiga operasi dasar, yaitu:
1. Penjumlahan logika atau OR dengan
symbol operasi “+” (tanda plus)
2.
Perkalian logika atau AND dengan symbol operasi “.’ (tanda titik) atau tanpa
tanda sama sekali
3. Komplementasi atau NOT dengan symbol operasi “-“ (garis diatas
variabel) (Andreas, 2013).
2.2 Peta
Karnaugh
Metode pemetaan yang dikenalkan
oleh Karnaugh, disebut Peta Karnaugh (Karnaugh Map). Metode Peta
Karnaugh merupakan metode grafis untuk menyederhanakan fungsi boolean. Metode
pemetaan dapat meminimalisasi fungsi yang kompleks. Rangkaian logika yang
kompleks merupakan merupakan implementasi dari fungsi Boolean yang memberikan
ekspresi yang kompleks pula. Peta Karnaugh digambarkan dengan kotak bujur sangkar. Peta Karnaugh
adalah sebuah diagram/peta yang terbentuk dari kotak-kotak (berbentuk bujur
sangkar) yang bersisian. Setiap kotak merepresentasikan minterm. Jumlah kotak
dan minterm tergantung pada berapa jumlah variabel dari fungsi Boolean. N
variabel dalam fungsi Boolean diimplementasikan dengan 2N kotak (Bahri,
2006).
2.3 Metode
Logika Boolean dalam Persamaan Digital.
Penggunaan baik input-input min-term
dan max-term pada penyederhanaan
persamaan digital akan memberikan persamaan rangkaian digital sederhana yang
sama. Peta kebenaran dibawah ini merupakan tabel kebenaran dari suatu rangkaian
digital dengan dua masukkan.
|
|
|
A
|
|
|
|
|
0
|
1
|
|
B
|
0
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
|
|
Gambar 1 Sumber[6]
|
Gambar 1 di
atas menunjukkan peta karnaugh dari persamaan rangkaian digital dengan tabel
Kebenaran sebagai berikut
|
Masukkan
|
F(Keluaran)
|
|
|
B
|
A
|
|
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
Dari tabel kebenaran tersebut kita mendapatkan persaman logika dengan
berbagai cara yakni dengan
Min-term F=B’.A + B.A’ + B.A
Max-term F=B+A
Dengan menggunakan Min-term (1) peta karnaugh F=B+A
Dengan
menggunakan Max-term (0) peta karnaugh F= B+A
Jelas
terlihat bahwa dengan menggunakan metode 1 belum didapatkan persamaan digital
yang sederhana, sementara dengan metode 2, 3 dan 4 didapatkan hasil yang sama
dan sangat sederhana F=A+B (Sitompul, 2010).
Metode 1 selanjutnya dapat kita sederhanakan sebagai berikut,
F=B’.A + B.A’ + B.A
F= {B’.A + B.A} + {B.A’ + B.A}
F=A.{B’ + B} + B.{A’ + A}
F=A.1 + B.1
F=A + B
Terlihat
bahwa keempat metode di atas menghasilkan persamaan logika yang paling
sederhana dan sama yakni F=B + A atau F= A + B, tetapi kelihatan bahwa
menggunakan input min-term baik yang menggunakan peta karnaugh maupun dengan
menggunakan tabel kebenaran akan lebih sulit
hal ini disebabkan banyaknya input min-term yang harus dipertimbangkan.
Terlihat pula dari metode 1 merupakan metode yang paling panjang dan dapat
membawa kita untuk menghasilkan persamaan yang tidak sama dengan F= A + B, dan
tentu saja bukan merupakan persamaan rangkian digital yang paling
sederhana, walaupun keluaran logikanya
sama, seperti F=B
A + B.A, F= B’.A + B (Sitompul,
2010).
Jadi jelas terbukti bahwa dengan menggunakan input yang paling sedikit
dari peta karnaugh akan menghasilkan persamaan rangkaian digital yang paling
sederhana dan effisien untuk mendapatkan persamaan yang dimaksud (Sitompul,
2010).
Persamaan dengan tiga buah
masukkan
|
Menggunakan
Min-term (1)
|
|
Menggunakan
Max-term (2)
|
|
|
|
|
A
|
||
|
|
|
|
0
|
1
|
|
|
C
|
B
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
C
|
B
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|
C
|
B
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
C
|
B
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
Gambar 2 Sumber[6]
|
Dari tabel kebenaran tersebut kita akan membahas dua metode saja,
min-term peta karnaugh
dan max-term peta karnaugh
Dengan menggunakan metode
pertama kita akan mendapatkan F=A+C
Dengan
menggunakan metode kedua kita juga mendapatkan F=A + C. Sebenarnya jika di
analisa metode kedua ini dapat diuraikan seperti dibawah ini
F={C+B+A} . {C + B’+A}
dan dapat
disusunkembali menjadi F ={A+C+B}.{A+C+B’}, dan selanjutnya disusun
kembali menjadi F={A + C}+{B.B’} dan selanjutnya disusun menjadi
F={A+C}+0 yang pada akhirnya menghasilkan F =A+C (Sitompul,
2010).
Dari pembahasan di atas terlihat jelas bahwa dengan menggunakan metode
kedua max-term peta karnaugh
menghasilkan persamaan rangkaian digital yang paling cepat dan jika ingin
dianalisa dengan menggunakan persamaan Boolean kembali akan lebih mudah, inilah
yang dimaksud oleh penulis agar mengambil input-input yang sama dan paling
sedikit jumlah untuk melaksanakan penyederhanaan persamaan rangkaian digital (Sitompul,
2010).
Persamaan dengan empat buah
masukkan.
|
|
|
|
B
|
A
|
B
|
A
|
B
|
A
|
B
|
A
|
||||
|
|
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
||||
|
D
|
C
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|||||||
|
D
|
C
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
|||||||
|
D
|
C
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|||||||
|
D
|
C
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|||||||
Sama halnya dengan pembahasan sebelumnya dengan tiga masukkan, pada peta
karnaugh dengan empat masukkan juga kita akan membahas hanya menggunakan kedua
metode, min-term peta karnaugh dan max-term peta karnaugh Dengan melihat min-term peta karnaugh kita mendapatkan
F=B [1] +A[2] + D[3] atau dapat disusun kembali menjadi F=D + B + A, sementara
dengan menggunakan max-term peta
karnaugh kita dapat melihatnya dengan lebih mudah bahwa F=D + B +A (Sitompul,
2010).
Metode yang paling optimal adalah metode dengan jumlah input yang sama
terkecil jumlahnya. Peneliti juga sampai pada hipotesa bahwa penggunaan
input-input baik max-term maupun min-term yang paling sedikit akan meningkatkan
effisiensi dalam proses penyederhanaan persaman rangkaian digital yang
diiginkan (Sitompul, 2010).
2.4 Hubungan
Diagram Venn, logika Boolean, dan Peta Karnaugh
Dalam
Metode peta Karnaugh adalah teknik untuk mereduksi persamaan logika digital
dengan menggunakan grafik (gambar) sehingga dapat diikuti proses-nya secara
visual. Variabel yang muncul di banyak minterm (suku) adalah calon terkuat
untuk dieliminasi. Dasar dari peta Karnaugh adalah diagram Venn yang asalnya
digunakan untuk visualisasi konsep himpunan. Diagram Venn untuk variabel biner
berisi persegi panjang yang menunjukkan bentuk SOP biner. Diagram Venn untuk 3
variabel A,B, dan C ditunjukkan dalam Gambar. Satu lingkaran menunjukkan 1
variabel. Di dalam lingkaran bersangkutan variabel tersebut bernilai 1, sedang
di luarnya bernilai 0. Irisan menunjukkan minterm, seperti gambar tersebut
(Andreas, 2013).
Diagram
Venn untuk 3 variabel biner
Daerah
yang diarsir adalah calon kuat untuk direduksi. Dalam gambar napak bahwa daerah
ABC dapat dikombinasi dengan setiap 3 daerah lainnya untuk menghasilkan suku
yang terreduksi. Peta Karnaugh adalah bentuk hubungan atau relasi yang
ditransformasi dari diagram Venn. Seperti dalam diagram Venn, dalam peta
Karnaugh, minterm yang berbeda tepat 1 nilai variabel diletakkan berdekatan
(Andreas, 2013).
Metode
peta Karnaugh adalah teknik untuk mereduksi persamaan logika digital dengan
menggunakan grafik (gambar) sehingga dapat diikuti prosesnya secara visual.
Variabel yang muncul di banyak minterm (suku) adalah calon terkuat untuk
dieliminasi. Dasar dari peta Karnaugh adalah diagram Venn yang asalnya
digunakan untuk visualisasi konsep himpunan. Diagram Venn untuk variabel biner berisi
persegi panjang yang menunjukkan bentuk SOP biner (Rofsanjani, 2013)
Di
dalam lingkaran bersangkutan variabel tersebut bernilai 1, sedang di luarnya
bernilai 0. Irisan menunjukkan minterm, seperti gambar tersebut. Daerah yang
diarsir adalah calon kuat untuk direduksi. Dalam gambar napak bahwa daerah ABC
dapat dikombinasi dengan setiap 3 daerah lainnya untuk menghasilkan suku yang
terreduksi. Peta Karnaugh adalah bentuk hubungan atau relasi yang
ditransformasi dari diagram Venn. Seperti dalam diagram Venn, dalam peta
Karnaugh, minterm yang berbeda tepat 1 nilai variabel diletakkan berdekatan. Peta
Karnaugh untuk fungsi mayoritas ditunjukkan pada Gambar di atas Setiap sel
dalam peta Karnaugh bersesuaian dengan entri dalam fungsi table kebenaran dari
fungsi yang sama, dan karena ada 8 entri dalam table kebenaran maka ada 8 sel
dalam peta Karnaugh. Angka 1 dalam sel menunjukkan nilai 1 (benar) dalam entri
tabel kebenaran. Angka 0 diisikan pada sel lainnya, namun untuk kejelasan angka
0 ini diganti dengan kosong saja. Label yang tercantum di sisi atas dan kiri
tersusun dalam bentuk kode Gray, yang memastikan bahwa tepat 1 nilai variabel saja
yang berubah di antara sel yang berdekatan sepanjang sisi atas ataupun kiri (Rofsanjani,
2013)
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Penggunaan Aljabar
Boolean dapat juga digunakan sebagai rangkaian
dalam system digital.
2. Suatu set
s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota dari s
(dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau
konstan)
3. Logika
Boolean digunakan untuk mengisi data menjadi lebih
sederhana pada system ,
diagram venn berguna sebagai penanda nilai yang disederhanakan, dan peta
karnaugh berguna sebagai sistem penyederhana pada komputer system digital
DAFTAR PUSTAKA
Andreas. 2013. Diagram Venn Dalam Sistem Digital Aljabar
Boolean
http://s3.amazonaws.com/ppt-download/diagramvenn
131112012722-phpapp01.pdf?response-contentdisposition=a ttachment&Signature=8FjkLRkefd7rEm6YasTv6wgvOMA%3D&Expires=1398093275&AWSAccessKeyId=AKIAIW74DRRRQSO4NIKA
Diakses pada tanggal 16 April 2014
Bahri, S. 2006. Logika dan Himpunan
Diakses pada tanggal 16 April 2014
Rofsanjani, Aldoni
Risma. 2013.Diagram Venn dan Fungsinya
dalam Sistem Digital
http://s3.amazonaws.com/ppt-download/makalahsisdigdoni-131112111213-phpapp01.pdf?response-content-disposition=a
ttachment&Signature=XUCFqycW%2FBGHSt65JpUzwEZwdeo%3D&Expires=1398156796&AWSAccessKeyId=AKIAIW74DRRRQSO4NIKA
Diakses pada tanggal 16 April 2014
Sitompul, Dahlan. 2010. Penyederhanaan Ragkaian Digital dengan menggunakan
input min term dan max term teroptimal pada suatu peta karnaugh
Diakses pada tanggal 16 April 2014
0 komentar:
Posting Komentar